سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow c = \frac{\sqrt{3}}{2}a , \qquad BB' = 2b = 10 \Rightarrow b = 5$$ $$a^2 = 25 + \frac{3}{4}a^2 \Rightarrow a = 10 \Rightarrow c = 5\sqrt{3} \Rightarrow FF' = 2c = 10\sqrt{3}$$

در بیضی، $a$ نصف قطر بزرگ، $b$ نصف قطر کوچک و $c$ نصف فاصلهٔ دو کانون است و همیشه $a^2 = b^2 + c^2$. خروج از مرکز $e = \frac{c}{a}$ است و فاصلهٔ کانونی یعنی فاصلهٔ دو کانون، $FF' = 2c$.

گام ۱: نصف قطر کوچک.

$$BB' = 2b = 10 \Rightarrow b = 5$$

گام ۲: رابطهٔ $c$ و $a$ از خروج از مرکز.

$$\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow c = \frac{\sqrt{3}}{2}a \Rightarrow c^2 = \frac{3}{4}a^2$$

گام ۳: پیدا کردن $a$.

$$a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow a^2 = 25 + \frac{3}{4}a^2 \Rightarrow \frac{1}{4}a^2 = 25 \Rightarrow a^2 = 100 \Rightarrow a = 10$$

گام ۴: فاصلهٔ کانونی.

$$c = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 = 5\sqrt{3} \Rightarrow FF' = 2c = 10\sqrt{3}$$