سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

$$(gof)^{-1}(7) = (f^{-1} o\, g^{-1})(7) = f^{-1}(2) = 3$$

یا: $(gof)(x) = 7 \Rightarrow (1 + \sqrt{x - 2})^3 - 1 = 7 \Rightarrow x = 3$

یا: $(gof)^{-1}(x) = (\sqrt[3]{x + 1} - 1)^2 + 2 \Rightarrow (gof)^{-1}(7) = 3$

روش اول (بدون پیدا کردن ضابطهٔ وارون): وارونِ ترکیب دو تابع، ترکیب وارون‌ها به ترتیب عکس است:

$$(gof)^{-1} = f^{-1} o\, g^{-1} \Rightarrow (gof)^{-1}(7) = f^{-1}\big(g^{-1}(7)\big)$$

ابتدا $g^{-1}(7)$ را پیدا می‌کنیم؛ یعنی عددی که $g$ آن را به ۷ می‌برد:

$$x^3 - 1 = 7 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow g^{-1}(7) = 2$$

سپس $f^{-1}(2)$؛ یعنی عددی که $f$ آن را به ۲ می‌برد:

$$1 + \sqrt{x - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{x - 2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$$

پس $(gof)^{-1}(7) = 3$.

روش دوم: اگر $(gof)^{-1}(7) = a$ باشد، یعنی $(gof)(a) = 7$. ضابطهٔ ترکیب را می‌نویسیم و معادله را حل می‌کنیم:

$$(gof)(x) = g\big(f(x)\big) = (1 + \sqrt{x - 2})^3 - 1$$ $$(1 + \sqrt{x - 2})^3 - 1 = 7 \Rightarrow (1 + \sqrt{x - 2})^3 = 8 \Rightarrow 1 + \sqrt{x - 2} = 2 \Rightarrow x = 3$$

عدد ۳ در دامنهٔ $f$ (یعنی $x \ge 2$) است، پس جواب $(gof)^{-1}(7) = 3$ است.