سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

تابع $h$ به شکل $u^6$ است که در آن $u = \frac{\sqrt{1 - 3x}}{7 + x}$. طبق قاعدهٔ مشتق توان (زنجیره‌ای):

$$h'(x) = 6u^5 \times u'$$

مشتق $u$ با قاعدهٔ خارج‌قسمت: برای $u = \frac{p}{q}$ داریم $u' = \frac{p'q - pq'}{q^2}$. اینجا صورت $p = \sqrt{1 - 3x}$ و مخرج $q = 7 + x$ است.

مشتق صورت را با قاعدهٔ مشتق رادیکال، $(\sqrt{w})' = \frac{w'}{2\sqrt{w}}$، می‌گیریم:

$$p' = \frac{-3}{2\sqrt{1 - 3x}} , \qquad q' = 1$$

پس:

$$u' = \frac{\left(\dfrac{-3}{2\sqrt{1 - 3x}}\right)(7 + x) - (1)\sqrt{1 - 3x}}{(7 + x)^2}$$

کنار هم گذاشتن:

$$h'(x) = 6\left(\frac{\sqrt{1 - 3x}}{7 + x}\right)^5 \times \frac{\left(\dfrac{-3}{2\sqrt{1 - 3x}}\right)(7 + x) - \sqrt{1 - 3x}}{(7 + x)^2}$$

طبق صورت سؤال، ساده کردن این عبارت لازم نیست.