سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

$$\text{آهنگ لحظه‌ای} = 20(2)\left(1 - \frac{t}{50}\right)\left(-\frac{1}{50}\right) = -\frac{4}{5}\left(1 - \frac{t}{50}\right)$$ $$\text{آهنگ متوسط} = \frac{0 - 20}{50 - 0} = -\frac{2}{5}$$

از برابری آهنگ متوسط و لحظه‌ای نتیجه می‌گیریم $t = 25$.

آهنگ متوسط در بازهٔ $[0, 50]$: تغییر حجم تقسیم بر تغییر زمان است. ابتدا حجم را در دو سر بازه حساب می‌کنیم:

$$V(0) = 20(1 - 0)^2 = 20 , \qquad V(50) = 20(1 - 1)^2 = 0$$ $$\frac{V(50) - V(0)}{50 - 0} = \frac{0 - 20}{50} = -\frac{2}{5}\ \mathrm{L/s}$$

علامت منفی یعنی حجم مایع کم می‌شود.

آهنگ لحظه‌ای: مشتق $V$ نسبت به $t$ است. با قاعدهٔ زنجیره‌ای (مشتق پرانتز به توان ۲، ضرب در مشتق داخل پرانتز که $-\frac{1}{50}$ است):

$$V'(t) = 20 \times 2\left(1 - \frac{t}{50}\right) \times \left(-\frac{1}{50}\right) = -\frac{4}{5}\left(1 - \frac{t}{50}\right)$$

برابر قرار دادن دو آهنگ:

$$-\frac{4}{5}\left(1 - \frac{t}{50}\right) = -\frac{2}{5} \Rightarrow 1 - \frac{t}{50} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{t}{50} = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 25$$

پس در لحظهٔ $t = 25$ ثانیه، آهنگ تغییر لحظه‌ای حجم با آهنگ تغییر متوسط آن در بازهٔ $[0, 50]$ برابر است.