سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

الف) $-\frac{1}{2}$

ب) $\frac{1}{0^-} = -\infty$

پ)

$$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 3x + 2}{\sqrt[3]{x} + 1} \times \frac{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1}{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x + 2)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)}{x + 1} = 3$$

الف) وقتی $x \to -\infty$، کسرهای $\frac{1}{x}$ و $\frac{3}{x^3}$ به صفر میل می‌کنند:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{2 - \frac{3}{x^3}} = \frac{0 - 1}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$$

ب) با جای‌گذاری، صورت ۱ و مخرج $\sin(-\pi) = 0$ می‌شود؛ پس حد بی‌نهایت است و باید علامت مخرج را پیدا کنیم. اگر $x$ از سمت راست به $-\pi$ نزدیک شود، $x = -\pi + h$ است که $h$ عددی مثبت و کوچک است:

$$\sin(-\pi + h) = -\sin(\pi - h) = -\sin h < 0$$

یعنی مخرج از سمت مقدارهای منفی به صفر نزدیک می‌شود ($0^-$). (روی دایرهٔ مثلثاتی هم کمانی کمی بزرگ‌تر از $-\pi$ در ربع سوم است و سینوس آن منفی است.)

$$\lim_{x \to (-\pi)^+} \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$

پ) با جای‌گذاری $x = -1$، صورت $1 - 3 + 2 = 0$ و مخرج $\sqrt[3]{-1} + 1 = 0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ داریم.

مخرج را با اتحاد چاق و لاغر گویا می‌کنیم. با $a = \sqrt[3]{x}$ و $b = 1$:

$$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \Rightarrow (\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1) = x + 1$$

صورت و مخرج را در $\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1$ ضرب می‌کنیم و صورت را هم تجزیه می‌کنیم ($x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$):

$$\lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x + 2)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x + 2)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)$$

حالا جای‌گذاری می‌کنیم؛ $\sqrt[3]{(-1)^2} = 1$ و $\sqrt[3]{-1} = -1$:

$$(-1 + 2)\big(1 - (-1) + 1\big) = 1 \times 3 = 3$$