سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

$$V = x\,l^2 , \qquad 2x + l = 30 \Rightarrow l = 30 - 2x$$ $$V = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x , \qquad x \in [0, 15]$$ $$V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 0 \Rightarrow x = 5 \ \ \text{یا} \ \ x = 15$$

بیشترین حجم برای $x = 5$ به دست می‌آید.

گام ۱: ابعاد جعبه. بعد از بریدن مربع‌های گوشه و تا کردن لبه‌ها، کف جعبه مربعی به ضلع $l$ و ارتفاع جعبه $x$ است. طبق شکل، هر ضلع ورق از دو پارهٔ $x$ و یک پارهٔ $l$ ساخته شده است:

$$2x + l = 30 \Rightarrow l = 30 - 2x$$

گام ۲: تابع حجم. حجم جعبه برابر مساحت کف ضرب در ارتفاع است:

$$V(x) = x\,l^2 = x(30 - 2x)^2 = x(900 - 120x + 4x^2) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$$

طول‌ها منفی نمی‌شوند: $x \ge 0$ و $l = 30 - 2x \ge 0$؛ پس $x \in [0, 15]$.

گام ۳: نقاط بحرانی.

$$V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 12(x^2 - 20x + 75) = 12(x - 5)(x - 15)$$ $$V'(x) = 0 \Rightarrow x = 5 \ \ \text{یا} \ \ x = 15$$

گام ۴: مقدار حجم در نقاط بحرانی و دو سر بازه.

$$V(0) = 0 , \qquad V(5) = 5(30 - 10)^2 = 5 \times 400 = 2000 , \qquad V(15) = 15(30 - 30)^2 = 0$$

بین ۰ و ۵ مشتق مثبت است (مثلاً $V'(1) = 12(-4)(-14) > 0$) و بین ۵ و ۱۵ منفی است (مثلاً $V'(10) = 12(5)(-5) < 0$). جدول تغییرات را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: حجم تا $x = 5$ زیاد می‌شود و بعد از آن کم می‌شود؛ پس بیشترین حجم در $x = 5\ \mathrm{cm}$ به دست می‌آید و مقدار آن $2000\ \mathrm{cm^3}$ است (جعبه‌ای با کف $20 \times 20$ و ارتفاع ۵ سانتی‌متر).