سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

تابع در $x = 2$ پیوسته است.

$$f'(x) = \begin{cases} 4x & x < 2 \\ 2\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x - 1}}\right) & x > 2 \end{cases} \Rightarrow f'_+(2) = 1 , \ f'_-(2) = 8$$

یا با تعریف مشتق:

$$f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} \frac{(2\sqrt{x - 1} + 6) - 8}{x - 2} = 1 , \qquad f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2x^2 - 8}{x - 2} = 8$$

چون مشتق چپ و راست برابر نیستند، تابع در $x = 2$ مشتق‌پذیر نیست.

گام ۱: پیوستگی. اگر تابع در نقطه‌ای پیوسته نباشد، آنجا مشتق‌پذیر هم نیست؛ پس اول پیوستگی را بررسی می‌کنیم:

$$f(2) = 6(2) - 4 = 8$$ $$\lim_{x \to 2^-} 2x^2 = 8 , \qquad \lim_{x \to 2^+} \left(2\sqrt{x - 1} + 6\right) = 2(1) + 6 = 8$$

حد چپ، حد راست و مقدار تابع برابرند؛ پس $f$ در $x = 2$ پیوسته است.

گام ۲: مشتق چپ (با تعریف مشتق و ضابطهٔ سمت چپ):

$$f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2x^2 - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{2(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = 2(2 + 2) = 8$$

گام ۳: مشتق راست (با ضابطهٔ سمت راست):

$$f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} \frac{2\sqrt{x - 1} + 6 - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2(\sqrt{x - 1} - 1)}{x - 2}$$

صورت و مخرج را در مزدوج $\sqrt{x - 1} + 1$ ضرب می‌کنیم:

$$f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} \frac{2(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{x - 1} + 1)} = \frac{2}{1 + 1} = 1$$

همین دو عدد را می‌توان با مشتق گرفتن از هر ضابطه هم به دست آورد (چون تابع در ۲ پیوسته است): $(2x^2)' = 4x$ که در $x = 2$ برابر ۸ است، و $\left(2\sqrt{x - 1} + 6\right)' = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ که در $x = 2$ برابر ۱ است.

نتیجه: $f'_-(2) = 8 \ne 1 = f'_+(2)$؛ پس $f$ در $x = 2$ مشتق‌پذیر نیست (نمودار در این نقطه گوشه دارد).