سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

$$\begin{cases} |a| + c = \frac{4}{3} \\ -|a| + c = \frac{2}{3} \end{cases} \quad \text{یا} \quad \begin{cases} c = \frac{\max + \min}{2} \\ |a| = \frac{\max - \min}{2} \end{cases} \Rightarrow c = 1 , \ |a| = \frac{1}{3}$$ $$T = \frac{2\pi}{|b|} \Rightarrow |b| = 2$$ $$y = -\frac{1}{3}\sin(2x) + 1 \quad \text{یا} \quad y = \frac{1}{3}\sin(-2x) + 1$$

از روی نمودار، بیشترین مقدار تابع $\frac{4}{3}$ و کمترین مقدار آن $\frac{2}{3}$ است.

مقدار $c$ و $|a|$: بیشترین مقدار $y = a\sin(bx) + c$ برابر $|a| + c$ و کمترین مقدار آن $-|a| + c$ است. پس $c$ وسط بیشینه و کمینه است و $|a|$ نصف فاصلهٔ آن‌ها:

$$c = \frac{\max + \min}{2} = \frac{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}}{2} = 1$$ $$|a| = \frac{\max - \min}{2} = \frac{\frac{4}{3} - \frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$$

مقدار $|b|$: کمینه در $x = \frac{\pi}{4}$ و بیشینهٔ بعدی در $x = \frac{3\pi}{4}$ است. فاصلهٔ یک کمینه تا بیشینهٔ بعدی، نصف دورهٔ تناوب است:

$$\frac{T}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow T = \pi$$ $$T = \frac{2\pi}{|b|} \Rightarrow \pi = \frac{2\pi}{|b|} \Rightarrow |b| = 2$$

علامت $a$: نمودار در $x = 0$ از خط وسط ($y = 1$) می‌گذرد و بعد از آن پایین می‌رود تا در $\frac{\pi}{4}$ به کمینه برسد. اما $\sin x$ بعد از مبدأ بالا می‌رود؛ پس این نمودار نسبت به خط وسط قرینه شده و با انتخاب $b = 2$ باید $a$ منفی باشد: $a = -\frac{1}{3}$.

$$y = -\frac{1}{3}\sin(2x) + 1$$

بررسی: در $x = \frac{\pi}{4}$:

$$y = -\frac{1}{3}\sin\frac{\pi}{2} + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$$

که همان کمینهٔ نمودار است. چون $\sin(-2x) = -\sin(2x)$، ضابطهٔ $y = \frac{1}{3}\sin(-2x) + 1$ هم همین تابع است.