سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3 \Rightarrow f'(2) = 3$$ $$y - 4 = 3(x - 2) \Rightarrow y = 3x - 2$$

گام ۱: شیب خط مماس. طبق تعریف مشتق، حد $\frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$ وقتی $x \to 2$ همان مشتق $f$ در $x = 2$ است:

$$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3$$

شیب خط مماس در هر نقطه برابر مشتق تابع در آن نقطه است؛ پس شیب مماس در $A$ برابر $m = 3$ است.

گام ۲: نقطهٔ تماس. نمودار از $A(2, 4)$ می‌گذرد؛ یعنی $f(2) = 4$ و خط مماس هم از همین نقطه می‌گذرد.

گام ۳: معادلهٔ خط. با فرمول خطی که از نقطهٔ $(x_0, y_0)$ با شیب $m$ می‌گذرد:

$$y - y_0 = m(x - x_0) \Rightarrow y - 4 = 3(x - 2) \Rightarrow y = 3x - 2$$