سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

طول ماکزیمم نسبی $= 3$ — طول مینیمم نسبی $= 2$ — طول ماکزیمم مطلق $= 1$ — طول مینیمم مطلق $= 4$

از روی شبکه، دامنهٔ تابع بازهٔ $[1, 4]$ است و نقطه‌های مهم نمودار این‌ها هستند: $(1, 4)$ و $(4, 1)$ دو سر نمودار، $(2, 2)$ پایین‌ترین نقطهٔ دره و $(3, 3)$ نوک قله.

اکسترمم‌های نسبی. اکسترمم نسبی فقط در نقطه‌های درون دامنه تعریف می‌شود: نقطه‌ای که مقدار تابع در آن از همهٔ نقطه‌های اطرافش (در یک همسایگی) بیشتر یا کمتر باشد.

• در $x = 2$ نمودار از نزولی به صعودی تغییر می‌کند و $f(2) = 2$ از مقدار نقطه‌های اطرافش کمتر است؛ پس مینیمم نسبی در $x = 2$ است.
• در $x = 3$ نمودار از صعودی به نزولی تغییر می‌کند و $f(3) = 3$ از مقدار نقطه‌های اطرافش بیشتر است؛ پس ماکزیمم نسبی در $x = 3$ است. (نوک تیز بودن قله مهم نیست؛ تابع در این نقطه مشتق ندارد ولی باز هم ماکزیمم نسبی دارد.)
• نقطه‌های $x = 1$ و $x = 4$ سر دامنه‌اند و همسایگی کاملی از هر دو طرف ندارند؛ پس اکسترمم نسبی به حساب نمی‌آیند.

اکسترمم‌های مطلق. بیشترین و کمترین مقدار تابع در کل دامنه را پیدا می‌کنیم؛ مقدار تابع را در نقطه‌های مهم مقایسه می‌کنیم:

• بیشترین مقدار $4$ است که در $x = 1$ به دست می‌آید؛ پس طول ماکزیمم مطلق $x = 1$ است.
• کمترین مقدار $1$ است که در $x = 4$ به دست می‌آید؛ پس طول مینیمم مطلق $x = 4$ است.