سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

$$S_{OAB} = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}x(12 - x^2) = 6x - \frac{1}{2}x^3 \Rightarrow S'(x) = 6 - \frac{3}{2}x^2$$ $$6 - \frac{3}{2}x^2 = 0 \ \xrightarrow{x > 0} \ x = 2 \Rightarrow y = 12 - 4 = 8$$

پس $A(2, 8)$.

گام ۱: ضلع‌های مثلث. نقطهٔ $A$ مختصات $(x, y)$ دارد و $B$ پای عمود از $A$ بر محور $x$هاست؛ پس زاویهٔ قائمه در $B$ است و

$$OB = x , \qquad AB = y$$

گام ۲: تابع مساحت. مساحت مثلث قائم‌الزاویه، نصف حاصل‌ضرب دو ضلع قائمه است. چون $A$ روی منحنی است، $y = 12 - x^2$:

$$S(x) = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}x(12 - x^2) = 6x - \frac{1}{2}x^3$$

$A$ در ناحیهٔ اول است؛ پس $x > 0$ و $y = 12 - x^2 > 0$، یعنی $0 < x < \sqrt{12}$.

گام ۳: نقطهٔ بحرانی.

$$S'(x) = 6 - \frac{3}{2}x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \quad (x > 0)$$

گام ۴: جدول تغییرات. $S'$ یک عبارت درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ منفی است؛ پیش از $x = 2$ مثبت است (مثلاً $S'(1) = 4.5$) و بعد از آن منفی (مثلاً $S'(3) = -7.5$). جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

مساحت تا $x = 2$ زیاد و بعد از آن کم می‌شود؛ پس بیشترین مساحت در $x = 2$ است.

نتیجه:

$$y = 12 - 2^2 = 8 \Rightarrow A(2, 8) , \qquad S_{\max} = \frac{1}{2} \times 2 \times 8 = 8$$