سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

الف) $2$ — ب) $\frac{1}{4}$ — ج) سهمی

الف) نمودار $g$ سهمی رو به بالاست. با کامل کردن مربع، رأس آن را پیدا می‌کنیم:

رأس سهمی در $x = 2$ است. سهمی رو به بالا تا رأس اکیداً نزولی و بعد از آن اکیداً صعودی است؛ پس $g$ روی $(-\infty, 2]$ اکیداً نزولی است و اگر $a$ از ۲ بزرگ‌تر باشد، بازه بخشی از شاخهٔ صعودی را هم در بر می‌گیرد. بنابراین حداکثر مقدار $a$ برابر ۲ است.

ب) از اتحاد $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ استفاده می‌کنیم؛ یعنی $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$:

ج) وقتی صفحه با یکی از مولدهای مخروط موازی باشد، فقط یک قسمت مخروط را قطع می‌کند و مقطع، منحنی بازی با یک شاخه است؛ این مقطع سهمی است. (اگر صفحه از رأس بگذرد، مقطع به یک خط تبدیل می‌شود؛ برای همین شرط «از رأس عبور نکند» آمده است.)