سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

$$y = \sqrt{x + 4} - 1 \Rightarrow y + 1 = \sqrt{x + 4} \Rightarrow (y + 1)^2 = x + 4 \Rightarrow x = (y + 1)^2 - 4$$ $$f^{-1}(x) = (x + 1)^2 - 4 , \qquad D_{f^{-1}} = R_f = [-1, +\infty)$$

گام ۱: برد $f$. مقدار رادیکال همیشه نامنفی است و وقتی $x$ از $-4$ به بعد تغییر می‌کند، $\sqrt{x + 4}$ همهٔ عددهای نامنفی را می‌گیرد:

$$\sqrt{x + 4} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x + 4} - 1 \ge -1 \Rightarrow R_f = [-1, +\infty)$$

دامنهٔ تابع وارون همان برد تابع اصلی است:

$$D_{f^{-1}} = R_f = [-1, +\infty)$$

گام ۲: ضابطهٔ وارون. $y = f(x)$ را می‌نویسیم و $x$ را بر حسب $y$ به دست می‌آوریم:

$$y = \sqrt{x + 4} - 1 \Rightarrow y + 1 = \sqrt{x + 4}$$

دو طرف را به توان ۲ می‌رسانیم (با شرط $y + 1 \ge 0$ که همان $y \ge -1$ است):

$$(y + 1)^2 = x + 4 \Rightarrow x = (y + 1)^2 - 4$$

حالا جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم:

$$f^{-1}(x) = (x + 1)^2 - 4 , \qquad x \ge -1$$