خرداد ۱۴۰۳

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۷ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

۱.۲۵ بارم

با استفاده از تعریف مشتق، شیب نیم‌مماس چپ تابع f(x)=∣x2−4∣f(x) = |x^2 - 4| را در x=2x = 2 بیابید.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ
f−′(2)=lim⁡x→2−f(x)−f(2)x−2=lim⁡x→2−∣x2−4∣−0x−2=lim⁡x→2−−(x2−4)x−2f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{|x^2 - 4| - 0}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x^2 - 4)}{x - 2} =lim⁡x→2−−(x−2)(x+2)x−2=−4= \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = -4

راه‌حل قدم‌به‌قدم

شیب نیم‌مماس چپ همان مشتق چپ تابع در x=2x = 2 است:

f−′(2)=lim⁡x→2−f(x)−f(2)x−2f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}

گام ۱: مقدار f(2)f(2).

f(2)=∣4−4∣=0f(2) = |4 - 4| = 0

گام ۲: برداشتن قدرمطلق. وقتی xx از سمت چپ به ۲ نزدیک می‌شود (مثلاً x=1.9x = 1.9)، x2x^2 کمی از ۴ کوچک‌تر است؛ پس x2−4<0x^2 - 4 < 0 و

∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2 - 4| = -(x^2 - 4)

گام ۳: محاسبهٔ حد. صورت را با اتحاد مزدوج تجزیه می‌کنیم و عامل x−2x - 2 را ساده می‌کنیم:

f−′(2)=lim⁡x→2−−(x2−4)x−2=lim⁡x→2−−(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→2−−(x+2)=−4f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x^2 - 4)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} -(x + 2) = -4

پس شیب نیم‌مماس چپ در x=2x = 2 برابر −4-4 است.

راه دوم راهنمای تصحیح با hh: f−′(2)=lim⁡h→0−f(2+h)−f(2)h=lim⁡h→0−∣h2+4h∣hf'_-(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h^2 + 4h|}{h}. برای hh منفی و نزدیک صفر، h2+4h=h(h+4)h^2 + 4h = h(h + 4) منفی است؛ پس حد برابر lim⁡h→0−−(h2+4h)h=−4\displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac{-(h^2 + 4h)}{h} = -4 می‌شود.

این پاسخ مفید بود؟