سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

الف)

$$|a| = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3 , \qquad c = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6$$

ب)

$$T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$$

الف) مقدار $\sin(8x)$ بین $-1$ و $1$ تغییر می‌کند؛ پس $a\sin(8x)$ بین $-|a|$ و $|a|$ است (علامت $a$ فقط جای بیشینه و کمینه را عوض می‌کند). با اضافه شدن $c$:

$$\text{Max} = |a| + c , \qquad \text{Min} = -|a| + c$$

با قرار دادن مقدارهای داده‌شده، یک دستگاه دو معادله‌ای داریم:

$$\begin{cases} |a| + c = 9 \\ -|a| + c = 3 \end{cases}$$

دو معادله را جمع می‌کنیم:

$$2c = 12 \Rightarrow c = 6$$

و در معادلهٔ اول قرار می‌دهیم:

$$|a| = 9 - 6 = 3$$

(این همان فرمول‌های $|a| = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}$ و $c = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}$ است که در پاسخ آمده؛ راهنمای تصحیح هر دو راه را پذیرفته است.)

ب) دورهٔ تناوب تابع $y = a\sin(bx) + c$ برابر $\frac{2\pi}{|b|}$ است. این‌جا $b = 8$:

$$T = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$$