خرداد ۱۴۰۳

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۷ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

۰.۷۵ بارم

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید.

الف) هر نقطهٔ اکسترمم نسبی تابع، یک نقطهٔ بحرانی آن است.

ب) تابع f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x} در x=0x = 0 مشتق‌پذیر است.

ج) در تابع f(x)=4+x−1f(x) = 4 + \sqrt{x - 1}، دامنهٔ تابع y=(f−1∘f)(x)y = (f^{-1} \circ f)(x) برابر [1,+∞)[1, +\infty) است.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف) درست — ب) نادرست — ج) درست

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) درست. نقطهٔ بحرانی نقطه‌ای درون دامنه است که در آن مشتق صفر است یا مشتق وجود ندارد. اگر تابع در نقطهٔ cc اکسترمم نسبی داشته باشد، یکی از این دو حالت پیش می‌آید:

  • یا تابع در cc مشتق‌پذیر است؛ در این صورت مماس در نقطهٔ قله یا دره افقی است و f′(c)=0f'(c) = 0.
  • یا تابع در cc مشتق‌پذیر نیست (مثل نقطهٔ گوشه‌دار).

در هر دو حالت cc نقطهٔ بحرانی است. (عکس این جمله درست نیست: هر نقطهٔ بحرانی لزوماً اکسترمم نیست.)

ب) نادرست. مشتق را با تعریف در x=0x = 0 حساب می‌کنیم:

f′(0)=lim⁡h→0h3−0h=lim⁡h→01h23=+∞f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}} = +\infty

حد، عدد حقیقی نیست؛ پس تابع در x=0x = 0 مشتق ندارد. (نمودار x3\sqrt[3]{x} در مبدأ مماس قائم دارد.)

ج) درست. دامنهٔ ff از شرط زیر رادیکال به دست می‌آید:

x−1≥0⇒Df=[1,+∞)x - 1 \ge 0 \Rightarrow D_f = [1, +\infty)

دامنهٔ f−1∘ff^{-1} \circ f یعنی همهٔ xxهایی از دامنهٔ ff که f(x)f(x) در دامنهٔ f−1f^{-1} باشد. دامنهٔ f−1f^{-1} همان برد ff است؛ پس f(x)f(x) همیشه در دامنهٔ f−1f^{-1} قرار دارد و هیچ نقطه‌ای از DfD_f کنار گذاشته نمی‌شود:

Df−1∘f=Df=[1,+∞)D_{f^{-1} \circ f} = D_f = [1, +\infty)

(در این بازه (f−1∘f)(x)=x(f^{-1} \circ f)(x) = x است.)

این پاسخ مفید بود؟