سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

اگر $FF'$ فاصلهٔ کانونی و $BB'$ قطر کوچک بیضی باشد:

$$FF' = BB' \Rightarrow 2c = 2b \Rightarrow c = b$$ $$a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow a^2 = c^2 + c^2 \Rightarrow a^2 = 2c^2 \Rightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

در بیضی با نیم‌قطر بزرگ $a$، نیم‌قطر کوچک $b$ و فاصلهٔ کانون تا مرکز $c$:

• فاصلهٔ کانونی (فاصلهٔ دو کانون) برابر $FF' = 2c$ است.
• طول قطر کوچک برابر $BB' = 2b$ است.
• بین این سه اندازه رابطهٔ $a^2 = b^2 + c^2$ برقرار است.
• خروج از مرکز $e = \frac{c}{a}$ است.

گام ۱: از شرط مسئله.

$$2c = 2b \Rightarrow b = c$$

گام ۲: رابطهٔ $a$ و $c$.

$$a^2 = b^2 + c^2 = c^2 + c^2 = 2c^2 \Rightarrow a = \sqrt{2}\,c$$

گام ۳: خروج از مرکز.

$$e = \frac{c}{a} = \frac{c}{\sqrt{2}\,c} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

(این عدد بین ۰ و ۱ است، همان‌طور که خروج از مرکز هر بیضی باید باشد.)