سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

الف)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = 2$$

ب) $\frac{1}{0^+} = +\infty$

ج) $\frac{1}{0^-} = -\infty$

د)

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{-6x^3 + 7x - 9}{2x^3 - 4x^2 + x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-6x^3}{2x^3} = -3$$

الف) با جای‌گذاری $x = 1$ صورت و مخرج هر دو صفر می‌شوند؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ است. صورت را با اتحاد مزدوج تجزیه می‌کنیم ($x = (\sqrt{x})^2$):

$$x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$$

عامل $\sqrt{x} - 1$ از صورت و مخرج ساده می‌شود:

$$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x \to 1} (\sqrt{x} + 1) = 1 + 1 = 2$$

ب) با جای‌گذاری، صورت ۱ و مخرج صفر می‌شود؛ پس حد بی‌نهایت است و باید علامت مخرج را ببینیم. توان ۴ زوج است؛ پس $(x - 5)^4$ از هر دو طرف ۵ مثبت است و از سمت مقدارهای مثبت به صفر نزدیک می‌شود:

$$\lim_{x \to 5} \frac{1}{(x - 5)^4} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$

ج) وقتی $x$ از سمت چپ به ۳ نزدیک می‌شود (مثلاً $x = 2.9$)، $x$ بین ۲ و ۳ است؛ پس $[x] = 2$ و صورت برابر $3 - 2 = 1$ است. مخرج $x - 3$ عددی منفی و نزدیک صفر است ($0^-$):

$$\lim_{x \to 3^-} \frac{3 - [x]}{x - 3} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$

د) حد تابع گویا در بی‌نهایت برابر حد نسبت جمله‌های با بزرگ‌ترین توان در صورت و مخرج است. در صورت، جملهٔ $-6x^3$ و در مخرج، جملهٔ $2x^3$ بزرگ‌ترین توان را دارند:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{-6x^3 + 7x - 9}{2x^3 - 4x^2 + x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-6x^3}{2x^3} = -3$$

(چون توان صورت و مخرج برابر است، جواب نسبت ضریب‌های این دو جمله است.)