سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

مشتق مجموع، مجموع مشتق‌هاست؛ دو جمله را جدا مشتق می‌گیریم.

گام ۱: جملهٔ اول. با قاعدهٔ مشتق توان ($\big(u^n\big)' = n\,u^{n-1}u'$) و $u = x - 6$ ($u' = 1$):

$$\big((x - 6)^3\big)' = 3(x - 6)^2$$

گام ۲: مشتق مخرج جملهٔ دوم. با $\big(\sqrt{u}\big)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ و $u = 2x - 1$ ($u' = 2$):

$$\big(\sqrt{2x - 1}\big)' = \frac{2}{2\sqrt{2x - 1}}$$

گام ۳: جملهٔ دوم با قاعدهٔ مشتق کسر. برای $\frac{u}{v}$ داریم $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - v'u}{v^2}$؛ این‌جا $u = 5x + 3$ با $u' = 5$ و $v = \sqrt{2x - 1}$:

$$\left(\frac{5x + 3}{\sqrt{2x - 1}}\right)' = \frac{5\sqrt{2x - 1} - \frac{2}{2\sqrt{2x - 1}}(5x + 3)}{\left(\sqrt{2x - 1}\right)^2}$$

نتیجه: دو قسمت را جمع می‌کنیم:

$$f'(x) = 3(x - 6)^2 + \frac{5\sqrt{2x - 1} - \frac{2}{2\sqrt{2x - 1}}(5x + 3)}{\left(\sqrt{2x - 1}\right)^2}$$