سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

$$\cos 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos 2x = \cos\frac{\pi}{3} \Rightarrow 2x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi \pm \frac{\pi}{6}$$ $$x \in (0, \pi) \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} , \ \frac{5\pi}{6}$$

گام ۱: کمان معلوم. می‌دانیم $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$؛ پس معادله را به شکل زیر می‌نویسیم:

$$\cos 2x = \cos\frac{\pi}{3}$$

گام ۲: جواب کلی. جواب کلی معادلهٔ $\cos\theta = \cos\alpha$ به صورت $\theta = 2k\pi \pm \alpha$ است ($k$ عدد صحیح). این‌جا $\theta = 2x$:

$$2x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi \pm \frac{\pi}{6}$$

گام ۳: جواب‌های درون بازه. به $k$ مقدار می‌دهیم و جواب‌هایی را نگه می‌داریم که بین $0$ و $\pi$ باشند:

• $k = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$ (قبول) و $x = -\frac{\pi}{6}$ (منفی است؛ قبول نیست).
• $k = 1$: $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (قبول) و $x = \pi + \frac{\pi}{6}$ (از $\pi$ بزرگ‌تر است؛ قبول نیست).

پس جواب‌ها $x = \frac{\pi}{6}$ و $x = \frac{5\pi}{6}$ هستند.