سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

الف)

$$-\frac{a}{2} = 1 \Rightarrow a = -2$$

ب)

$$r = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c} = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 16} \Rightarrow r = 3$$

معادلهٔ گستردهٔ دایره به شکل $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ است و

$$\text{مرکز} = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right) , \qquad r = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c}$$

در این دایره ضریب $x$ همان $a$ مجهول است، $b = -4$ و $c = -4$.

الف) طول مرکز باید ۱ باشد:

$$-\frac{a}{2} = 1 \Rightarrow a = -2$$

(عرض مرکز هم $-\frac{b}{2} = -\frac{-4}{2} = 2$ است که با $O(1, 2)$ می‌خواند.)

ب) با $a = -2$، $b = -4$ و $c = -4$:

$$r = \frac{1}{2}\sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 - 4(-4)} = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 16} = \frac{1}{2}\sqrt{36} = \frac{1}{2} \times 6 = 3$$