سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۳

آزمایش دو مرحله دارد: اول یک ظرف انتخاب می‌شود و بعد یک مهره از همان ظرف. احتمال قرمز بودن مهره به ظرف انتخاب‌شده بستگی دارد؛ پس از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم.

گام ۱: احتمال انتخاب هر ظرف. ظرف‌ها یکسان‌اند و با چشم بسته انتخاب می‌شوند؛ پس احتمال انتخاب هر کدام $\frac{1}{3}$ است.

گام ۲: احتمال قرمز بودن مهره در هر ظرف.

$$P(\text{قرمز} \mid \text{ظرف ۱}) = \frac{3}{15} , \qquad P(\text{قرمز} \mid \text{ظرف ۲}) = 0 , \qquad P(\text{قرمز} \mid \text{ظرف ۳}) = \frac{6}{12}$$

گام ۳: جمع سه حالت. احتمال هر حالت برابر حاصل‌ضرب احتمال انتخاب ظرف در احتمال قرمز بودن مهره از آن ظرف است:

$$P = \frac{1}{3} \times \frac{3}{15} + \frac{1}{3} \times 0 + \frac{1}{3} \times \frac{6}{12} = \frac{1}{15} + 0 + \frac{1}{6}$$

با مخرج مشترک ۳۰:

$$P = \frac{2}{30} + \frac{5}{30} = \frac{7}{30}$$