سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

الف)

$$\frac{3}{0^+} = +\infty$$

ب)

$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x + 1} - 2}{x - 1} \times \frac{\sqrt{3x + 1} + 2}{\sqrt{3x + 1} + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{3x + 1 - 4}{(x - 1)(\sqrt{3x + 1} + 2)}$$ $$= \lim_{x \to 1} \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{3x + 1} + 2)} = \frac{3}{4}$$

الف) وقتی $x \to 2$ (چه از چپ و چه از راست)، مقدار $2 - x$ به صفر نزدیک می‌شود و قدر مطلقش همیشه مثبت است؛ پس مخرج از سمت مثبت به صفر نزدیک می‌شود ($0^+$). صورت هم عدد مثبت ۳ است. تقسیم یک عدد مثبت بر عددهای مثبتِ بسیار کوچک، عددهای مثبتِ بسیار بزرگ می‌دهد:

$$\lim_{x \to 2} \frac{3}{|2 - x|} = \frac{3}{0^+} = +\infty$$

ب) با جای‌گذاری $x = 1$ صورت $\sqrt{4} - 2 = 0$ و مخرج هم صفر می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ داریم. صورت و مخرج را در مزدوج صورت، یعنی $\sqrt{3x + 1} + 2$، ضرب می‌کنیم تا رادیکال از صورت برود:

$$\left(\sqrt{3x + 1} - 2\right)\left(\sqrt{3x + 1} + 2\right) = (3x + 1) - 4 = 3x - 3 = 3(x - 1)$$

پس:

$$\lim_{x \to 1} \frac{3(x - 1)}{(x - 1)\left(\sqrt{3x + 1} + 2\right)} = \lim_{x \to 1} \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 2}$$

عامل $x - 1$ که صفرکنندهٔ مخرج بود ساده شد. حالا $x = 1$ را جای‌گذاری می‌کنیم:

$$\frac{3}{\sqrt{4} + 2} = \frac{3}{4}$$