سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

$$f'(x) = -6x^2 + 6x + 12 = 0 \Rightarrow x = -1 \ \ \text{یا} \ \ x = 2$$

نقطهٔ مینیمم نسبی $(-1, -16)$ و نقطهٔ ماکزیمم نسبی $(2, 11)$ است.

گام ۱: مشتق.

$$f'(x) = -6x^2 + 6x + 12$$

گام ۲: نقاط بحرانی. نقاط بحرانی طول‌هایی از دامنه‌اند که مشتق در آن‌ها صفر است یا وجود ندارد. این تابع چندجمله‌ای است و مشتقش همه‌جا وجود دارد، پس فقط ریشه‌های مشتق را پیدا می‌کنیم:

$$-6x^2 + 6x + 12 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0$$ $$x = -1 \qquad \text{یا} \qquad x = 2$$

گام ۳: علامت $f'$. $f'$ درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ منفی است؛ پس بیرونِ دو ریشه منفی و بین دو ریشه مثبت است. (برای نمونه $f'(0) = 12$ مثبت است.)

گام ۴: مقدار تابع در نقاط بحرانی.

$$f(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) - 9 = 2 + 3 - 12 - 9 = -16$$ $$f(2) = -2(8) + 3(4) + 12(2) - 9 = -16 + 12 + 24 - 9 = 11$$

گام ۵: جدول تغییرات. هر جا $f'$ منفی است تابع نزولی و هر جا مثبت است صعودی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: در $x = -1$ تابع از نزولی به صعودی می‌رود (علامت $f'$ از منفی به مثبت)، پس $(-1, -16)$ مینیمم نسبی است. در $x = 2$ تابع از صعودی به نزولی می‌رود (علامت $f'$ از مثبت به منفی)، پس $(2, 11)$ ماکزیمم نسبی است.