سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

$$O(2, -2) \quad , \quad r = 3 \quad , \quad d = \frac{|3 \times 2 + 4(-2)|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{2}{5}$$

چون شعاع دایره بزرگ‌تر از فاصلهٔ مرکز دایره تا خط است، خط و دایره متقاطع‌اند.

گام ۱: مرکز و شعاع. معادلهٔ دایره به شکل استاندارد $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ است:

$$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 9 \Rightarrow O(2, -2) \quad , \quad r = \sqrt{9} = 3$$

گام ۲: فاصلهٔ مرکز تا خط. فاصلهٔ نقطهٔ $(x_0, y_0)$ از خط $ax + by + c = 0$ برابر است با:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

برای خط $3x + 4y = 0$ و نقطهٔ $O(2, -2)$:

$$d = \frac{|3 \times 2 + 4 \times (-2)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 - 8|}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$$

گام ۳: مقایسه.

• اگر $d > r$ باشد، خط و دایره هیچ نقطهٔ مشترکی ندارند (خط بیرون دایره است).
• اگر $d = r$ باشد، خط بر دایره مماس است.
• اگر $d < r$ باشد، خط دایره را در دو نقطه قطع می‌کند (متقاطع‌اند).

اینجا $d = \frac{2}{5} < r = 3$؛ پس خط و دایره متقاطع هستند.