سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

$$f(x) = (x + 2)^2 - 1 \Rightarrow y + 1 = (x + 2)^2 \xrightarrow{x \ge -2} \sqrt{y + 1} = x + 2$$ $$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 1} - 2 \qquad , \qquad D_{f^{-1}} = [-1, +\infty)$$

گام ۱: مربع کامل. ضابطه را به شکل مربع کامل می‌نویسیم:

$$f(x) = x^2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2)^2 - 1$$

این یک سهمی با رأس $(-2, -1)$ است. روی دامنهٔ $[-2, +\infty)$ فقط شاخهٔ راست سهمی را داریم که صعودی و یک‌به‌یک است؛ پس تابع وارون دارد.

گام ۲: حل بر حسب $x$. قرار می‌دهیم $y = f(x)$:

$$y = (x + 2)^2 - 1 \Rightarrow y + 1 = (x + 2)^2$$

چون $x \ge -2$، مقدار $x + 2$ نامنفی است؛ پس از دو طرف جذر می‌گیریم و فقط ریشهٔ مثبت را نگه می‌داریم:

$$\sqrt{y + 1} = x + 2 \Rightarrow x = \sqrt{y + 1} - 2$$

گام ۳: جابه‌جایی $x$ و $y$.

$$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 1} - 2$$

گام ۴: دامنهٔ وارون. دامنهٔ $f^{-1}$ همان بُرد $f$ است. کمترین مقدار $f$ در رأس، یعنی $f(-2) = -1$ است و بعد از آن تابع تا بی‌نهایت بالا می‌رود:

$$D_{f^{-1}} = R_f = [-1, +\infty)$$

(همین نتیجه از ضابطهٔ وارون هم پیداست: زیر رادیکال باید $x + 1 \ge 0$ باشد.)