شهریور ۱۴۰۲

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۷ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

۰.۷۵ بارم

جمله‌های زیر را کامل کنید.

الف) اگر f(x)=−x3f(x) = -x^3، آن‌گاه f′′(1)f''(1) برابر است با ........ .

ب) اگر صفحه‌ای بر محور سطح مخروطی عمود باشد و از رأس آن عبور نکند، شکل حاصل ........ است.

پ) هرگاه برای دو پیشامد AA و BB داشته باشیم P(A∩B)=P(A) P(B)P(A \cap B) = P(A)\,P(B)، آن‌گاه دو پیشامد AA و BB، ........ هستند.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف) −6-6 — ب) دایره — پ) مستقل

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) دو بار مشتق می‌گیریم و سپس x=1x = 1 را جای‌گذاری می‌کنیم:

f′(x)=−3x2⇒f′′(x)=−6x⇒f′′(1)=−6f'(x) = -3x^2 \quad \Rightarrow \quad f''(x) = -6x \quad \Rightarrow \quad f''(1) = -6

ب) وقتی صفحه بر محور مخروط عمود باشد، همهٔ نقطه‌های محل برخورد به یک فاصله از محور هستند؛ پس مقطع یک دایره است. (اگر همین صفحه از رأس مخروط بگذرد، مقطع فقط یک نقطه می‌شود؛ برای همین در صورت سؤال شرط «از رأس عبور نکند» آمده است.)

پ) طبق تعریف، دو پیشامد AA و BB را مستقل می‌گوییم هرگاه رخ دادن یکی، احتمال رخ دادن دیگری را تغییر ندهد؛ و این دقیقاً با رابطهٔ زیر هم‌ارز است:

P(A∩B)=P(A) P(B)P(A \cap B) = P(A)\,P(B)
این پاسخ مفید بود؟