سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

$$x - y = 8 \Rightarrow x = 8 + y$$ $$s = xy = (8 + y)y = y^2 + 8y$$ $$s' = 2y + 8 = 0 \Rightarrow y = -4 \ , \ x = 4$$

گام ۱: متغیرها. دو عدد را $x$ و $y$ می‌نامیم. تفاضلشان ۸ است:

$$x - y = 8 \Rightarrow x = 8 + y$$

گام ۲: تابعی که باید کمینه شود. حاصل‌ضرب را فقط بر حسب $y$ می‌نویسیم:

$$s(y) = xy = (8 + y)y = y^2 + 8y$$

گام ۳: مشتق برابر صفر.

$$s'(y) = 2y + 8 = 0 \Rightarrow y = -4$$

گام ۴: کمینه بودن. $s''(y) = 2 > 0$؛ یعنی نمودار $s$ سهمی رو به بالاست و در $y = -4$ کمترین مقدار را دارد.

گام ۵: عدد دیگر.

$$x = 8 + (-4) = 4$$

پس دو عدد $4$ و $-4$ هستند (تفاضلشان $4 - (-4) = 8$ است) و کمترین حاصل‌ضرب ممکن برابر $4 \times (-4) = -16$ است.