شهریور ۱۴۰۲

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۷ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

۱ بارم

اگر f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}، آن‌گاه به کمک تعریف مشتق نشان دهید: f′(x)=−1x2f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01x+h−1xh=lim⁡h→0−1x(x+h)=−1x2f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x + h)} = -\frac{1}{x^2}

راه‌حل قدم‌به‌قدم

گام ۱: تعریف مشتق.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

گام ۲: جای‌گذاری ضابطه. f(x+h)=1x+hf(x + h) = \frac{1}{x + h} و f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}:

f′(x)=lim⁡h→01x+h−1xhf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}

گام ۳: مخرج مشترک در صورت.

1x+h−1x=x−(x+h)x(x+h)=−hx(x+h)\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)}

گام ۴: تقسیم بر hh و ساده کردن.

−hx(x+h)h=−1x(x+h)\frac{\frac{-h}{x(x + h)}}{h} = \frac{-1}{x(x + h)}

گام ۵: حد وقتی h→0h \to 0. حالا دیگر حالت مبهم نداریم و h=0h = 0 را جای‌گذاری می‌کنیم:

f′(x)=lim⁡h→0−1x(x+h)=−1x⋅x=−1x2f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x + h)} = \frac{-1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2}
این پاسخ مفید بود؟