سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

$$\sin 2x = \sin\frac{\pi}{3}$$ $$\begin{cases} 2x = 2k\pi + \dfrac{\pi}{3} \\[6pt] 2x = 2k\pi + \pi - \dfrac{\pi}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = k\pi + \dfrac{\pi}{6} \\[6pt] x = k\pi + \dfrac{\pi}{3} \end{cases} \qquad k \in \mathbb{Z}$$

گام ۱: ساده کردن سمت چپ. طبق اتحاد سینوس دو برابر کمان، $2\sin x\cos x = \sin 2x$. پس معادله می‌شود:

$$\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

گام ۲: نوشتن سمت راست به صورت سینوس یک زاویه. می‌دانیم $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$، پس:

$$\sin 2x = \sin\frac{\pi}{3}$$

گام ۳: جواب کلی. جواب کلی معادلهٔ $\sin u = \sin\alpha$ این است:

$$u = 2k\pi + \alpha \qquad \text{یا} \qquad u = 2k\pi + \pi - \alpha \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

با $u = 2x$ و $\alpha = \frac{\pi}{3}$:

$$2x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{6}$$ $$2x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{3}$$

جواب: $x = k\pi + \frac{\pi}{6}$ یا $x = k\pi + \frac{\pi}{3}$ که $k$ عددی صحیح است.