سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

الف) درست — ب) نادرست — پ) نادرست

الف) درست. تابع چندجمله‌ای تابعی به شکل $a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$ است که توان‌های $x$ عددهای طبیعی (یا صفر) و ضریب‌ها عددهای حقیقی باشند. در $y = \sqrt{3}x^3 - \pi x + 1$ توان‌های $x$ برابر ۳، ۱ و ۰ هستند و ضریب‌ها $\sqrt{3}$، $-\pi$ و $1$ همگی عدد حقیقی‌اند. رادیکال و $\pi$ فقط در ضریب‌ها آمده‌اند، نه روی خودِ $x$؛ پس این تابع یک چندجمله‌ای درجهٔ سوم است.

ب) نادرست. دامنهٔ $\frac{1}{x}$ مجموعهٔ $\mathbb{R} - \{0\}$ است. این تابع در هر یک از بازه‌های $(-\infty, 0)$ و $(0, +\infty)$ جداگانه نزولی است، اما در کل دامنه‌اش نه صعودی است و نه نزولی:

بنابراین تابع در دامنه‌اش یکنوا نیست.

پ) نادرست. نقاط برخورد، جواب‌های معادلهٔ $\sin x = \frac{1}{2}$ هستند. سینوس در ربع اول و دوم مثبت است، پس در بازهٔ $[0, 2\pi]$ دو جواب داریم:

پس خط $y = \frac{1}{2}$ نمودار سینوس را در این بازه در دو نقطه قطع می‌کند، نه در یک نقطه.