سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

الف)

$$g'(x) = \frac{4 \times 2 \times (2x - 1)^3(x^3 + 8) - 3x^2(2x - 1)^4}{(x^3 + 8)^2}$$

ب)

$$f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}}$$

الف) تابع به شکل کسر $\frac{u}{v}$ است؛ از قاعدهٔ مشتق خارج قسمت استفاده می‌کنیم:

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

صورت: $u = (2x - 1)^4$. با قاعدهٔ زنجیره‌ای، توان را جلو می‌آوریم، یکی از توان کم می‌کنیم و در مشتق داخل پرانتز (یعنی ۲) ضرب می‌کنیم:

$$u' = 4(2x - 1)^3 \times 2$$

مخرج: $v = x^3 + 8$، پس $v' = 3x^2$.

در فرمول می‌گذاریم:

$$g'(x) = \frac{4 \times 2 \times (2x - 1)^3(x^3 + 8) - 3x^2(2x - 1)^4}{(x^3 + 8)^2}$$

طبق صورت سؤال، ساده کردن لازم نیست.

ب) ریشهٔ سوم را به شکل توان کسری می‌نویسیم:

$$f(x) = (2x + 1)^{\frac{1}{3}}$$

با قاعدهٔ توان و زنجیره‌ای:

$$f'(x) = \frac{1}{3}(2x + 1)^{-\frac{2}{3}} \times 2 = \frac{2}{3(2x + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x + 1)^2}}$$