سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۲

گام ۱: نام‌گذاری پیشامدها.

• $B$: جعبهٔ اول (۹ سالم و ۳ معیوب) انتخاب شود.
• $C$: جعبهٔ دوم (۱۵ لامپ که ۵ تا معیوب است) انتخاب شود.
• $A$: لامپ بیرون‌آمده سالم باشد.

گام ۲: احتمال انتخاب هر جعبه. جعبه به تصادف انتخاب می‌شود، پس:

$$P(B) = P(C) = \frac{1}{2}$$

گام ۳: احتمال سالم بودن در هر جعبه. جعبهٔ اول ۱۲ لامپ دارد که ۹ تا سالم است. جعبهٔ دوم ۱۵ لامپ دارد که ۵ تا معیوب، پس ۱۰ تا سالم است:

$$P(A|B) = \frac{9}{12} \qquad , \qquad P(A|C) = \frac{10}{15}$$

گام ۴: قانون احتمال کل. لامپ سالم یا از جعبهٔ اول می‌آید یا از جعبهٔ دوم:

$$P(A) = P(B)P(A|B) + P(C)P(A|C) = \frac{1}{2} \times \frac{9}{12} + \frac{1}{2} \times \frac{10}{15}$$ $$= \frac{3}{8} + \frac{1}{3} = \frac{9}{24} + \frac{8}{24} = \frac{17}{24}$$