سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

الف)

$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2) = 2$$

ب) $m_A > m_B$

الف) طبق تعریف مشتق، این حد همان $f'(2)$ است، یعنی شیب خط مماس بر نمودار در نقطه‌ای که طولش ۲ است؛ این نقطه همان $A(2, 4)$ است و خط مماس در آن، خط $d$.

از روی شکل، خط $d$ از مبدأ $(0, 0)$ و نقطهٔ $A(2, 4)$ می‌گذرد؛ پس شیب آن:

$$m_d = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2$$

در نتیجه:

$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2) = 2$$

ب) نمودار $f$ رو به پایین خم شده است (تقعر رو به پایین دارد): هر چه به سمت راست می‌رویم، نمودار کم‌شیب‌تر و خوابیده‌تر می‌شود. $B$ در سمت راست $A$ است، پس خط مماس در $B$ از خط مماس در $A$ کم‌شیب‌تر است:

$$m_A > m_B$$