سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

الف) درست — ب) نادرست — پ) نادرست — ت) درست

الف) درست. پرانتز را باز می‌کنیم:

بزرگ‌ترین توان $x$ برابر ۳ است و ضریب آن ($-6$) صفر نیست؛ پس تابع چندجمله‌ای درجهٔ سوم است.

ب) نادرست. اگر $0 < x < 1$ باشد، ضرب کردن $x^2$ (که مثبت است) در عددی کوچک‌تر از ۱ آن را کوچک‌تر می‌کند:

پس در این بازه $x^2 > x^3$ است و نمودار $y = x^2$ بالاتر از نمودار $y = x^3$ قرار دارد، نه پایین‌تر. مثلاً در $x = \frac{1}{2}$ داریم $x^2 = \frac{1}{4}$ و $x^3 = \frac{1}{8}$.

پ) نادرست. تابع یکنوا یعنی صعودی یا نزولی، و این شامل حالت «غیراکید» هم می‌شود. مثلاً تابع ثابت $y = 3$ هم صعودی و هم نزولی است (پس یکنواست)، ولی همهٔ $x$ها را به یک عدد می‌برد و یک‌به‌یک نیست. فقط تابع‌های اکیداً یکنوا حتماً یک‌به‌یک هستند.

ت) درست. طبق اتحاد $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$: