سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

$$f'(2) = 0 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 + 2bx \Rightarrow b = -3$$ $$f(2) = 1 \Rightarrow 8 + (-12) + d = 1 \Rightarrow d = 5$$

از روی شکل، نقطهٔ $(2, 1)$ پایین‌ترین نقطهٔ «درّه» یعنی مینیمم نسبی تابع است. از این نقطه دو اطلاع به دست می‌آید:

• خط مماس در اکسترمم نسبیِ یک تابع مشتق‌پذیر افقی است، پس $f'(2) = 0$.
• نقطه روی نمودار است، پس $f(2) = 1$.

پیدا کردن $b$:

$$f'(x) = 3x^2 + 2bx$$ $$f'(2) = 3(4) + 2b(2) = 12 + 4b = 0 \Rightarrow b = -3$$

پیدا کردن $d$: با $b = -3$:

$$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + d = 8 - 12 + d = 1 \Rightarrow d = 5$$

بررسی: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ و $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ که در $x = 0$ و $x = 2$ صفر می‌شود؛ یعنی ماکزیمم نسبی روی محور $y$ (در $x = 0$) و مینیمم نسبی در $x = 2$، درست مثل شکل.