سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

الف) $f(x) = x^3 - x \Rightarrow f'(x) = 3x^2 - 1$

ب)

$$g'(x) = 3\left(\frac{2x - 1}{x + 1}\right)^2 \left(\frac{2(x + 1) - 1(2x - 1)}{(x + 1)^2}\right)$$

الف) اول ضابطه را ساده می‌کنیم. طبق اتحاد مزدوج $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$:

$$f(x) = x(x^2 - 1) = x^3 - x$$

حالا از هر جمله مشتق می‌گیریم:

$$f'(x) = 3x^2 - 1$$

ب) $g$ به شکل $u^3$ است که $u = \frac{2x - 1}{x + 1}$. طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای:

$$g'(x) = 3u^2 \cdot u'$$

مشتق $u$ را با قاعدهٔ مشتق کسر به دست می‌آوریم (مشتق صورت × مخرج − مشتق مخرج × صورت، تقسیم بر مجذور مخرج):

$$u' = \frac{2(x + 1) - 1(2x - 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$$

پس:

$$g'(x) = 3\left(\frac{2x - 1}{x + 1}\right)^2 \cdot \frac{3}{(x + 1)^2} = \frac{9(2x - 1)^2}{(x + 1)^4}$$

(ساده کردن تا این شکل آخر الزامی نیست.)