سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

در نقطه‌های برخورد، عرض نمودار و خط برابر است؛ پس باید معادلهٔ زیر را حل کنیم:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

می‌دانیم $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$، پس معادله به شکل $\sin x = \sin\frac{\pi}{6}$ درمی‌آید.

در یک دورهٔ تناوب، سینوس در ربع اول و دوم مثبت است، پس دو زاویه با سینوس $\frac{1}{2}$ داریم:

$$x = \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

چون دورهٔ تناوب سینوس $2\pi$ است، با افزودن هر مضرب $2\pi$ به این دو جواب، همهٔ نقطه‌های برخورد به دست می‌آیند:

$$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{یا} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6} \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

مثلاً شش نقطهٔ شکل به ازای $k = -1, 0, 1$ به دست می‌آیند: $-\frac{11\pi}{6}$ و $-\frac{7\pi}{6}$، سپس $\frac{\pi}{6}$ و $\frac{5\pi}{6}$، و بعد $\frac{13\pi}{6}$ و $\frac{17\pi}{6}$.