سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

الف)

$$D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\} = \{x \in [-3, +\infty) \mid \sqrt{x + 3} \in \mathbb{R}\} = [-3, +\infty)$$

ب)

$$(g \circ f)(1) = g\big(f(1)\big) = g(3) = \sqrt{6}$$

الف) طبق تعریف، $x$ در دامنهٔ $f \circ g$ است اگر اول $g(x)$ تعریف شده باشد ($x \in D_g$) و بعد $f$ روی $g(x)$ تعریف شده باشد ($g(x) \in D_f$).

دامنهٔ هر تابع:

• $f(x) = 7 - 4x^2$ چندجمله‌ای است، پس $D_f = \mathbb{R}$.
• $g(x) = \sqrt{x + 3}$ فقط وقتی تعریف شده است که زیر رادیکال منفی نباشد: $x + 3 \ge 0$، یعنی $D_g = [-3, +\infty)$.

شرط دوم ($g(x) \in D_f$) همیشه برقرار است، چون $g(x)$ یک عدد حقیقی است و $D_f$ همهٔ عددهای حقیقی است. پس فقط شرط اول می‌ماند:

$$D_{f \circ g} = \{x \in [-3, +\infty) \mid \sqrt{x + 3} \in \mathbb{R}\} = [-3, +\infty)$$

ب) در $(g \circ f)(1)$ اول $f$ و بعد $g$ اثر می‌کند:

$$f(1) = 7 - 4(1)^2 = 3$$ $$(g \circ f)(1) = g(3) = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$$