سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

$$x - y = 10$$ $$p = xy = x(x - 10) = x^2 - 10x$$ $$p'(x) = 2x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5 , \quad y = -5$$

گام ۱: نوشتن شرط‌ها. دو عدد را $x$ و $y$ می‌نامیم. تفاضل آن‌ها ۱۰ است:

$$x - y = 10 \Rightarrow y = x - 10$$

گام ۲: تابع حاصل‌ضرب بر حسب یک متغیر.

$$p = xy = x(x - 10) = x^2 - 10x$$

گام ۳: کمینه کردن. مشتق را برابر صفر قرار می‌دهیم:

$$p'(x) = 2x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5$$

$p(x)$ یک سهمی رو به بالاست ($p''(x) = 2 > 0$)، پس این نقطه کمینه است.

گام ۴: عدد دوم.

$$y = x - 10 = 5 - 10 = -5$$

پس دو عدد ۵ و $-5$ هستند؛ تفاضل آن‌ها $5 - (-5) = 10$ و کمترین حاصل‌ضرب ممکن $5 \times (-5) = -25$ است.