سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

الف)

$$\begin{cases} b = 3 \\ c = 4 \end{cases} \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow 2a = 10$$

ب)

$$\text{محیط} = 2a + 2c = 18$$

مرکز بیضی مبدأ $O$ است (وسط دو کانون). در بیضی:

• $a$ نصف قطر بزرگ است ($OA = OA' = a$)،
• $b$ نصف قطر کوچک است ($OB = OB' = b$)،
• $c$ فاصلهٔ مرکز تا هر کانون است ($OF = OF' = c$)،

و این سه با رابطهٔ $a^2 = b^2 + c^2$ به هم وصل‌اند.

الف) از $B(0, 3)$ داریم $b = 3$ و از $F'(4, 0)$ داریم $c = 4$:

$$a^2 = b^2 + c^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow a = 5$$ $$\text{قطر بزرگ} = AA' = 2a = 10$$

ب) طبق تعریف بیضی، مجموع فاصله‌های هر نقطهٔ روی بیضی از دو کانون برابر $2a$ است. $M$ روی بیضی است، پس:

$$MF + MF' = 2a = 10$$

ضلع سوم مثلث، فاصلهٔ دو کانون است:

$$FF' = 2c = 8$$ $$\text{محیط مثلث } MFF' = (MF + MF') + FF' = 2a + 2c = 10 + 8 = 18$$

جالب اینکه جای $M$ روی بیضی هر جا باشد، محیط این مثلث همیشه ۱۸ است.