سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

گام ۱: جای‌گذاری. با گذاشتن $x = 1$ هم صورت و هم مخرج صفر می‌شوند ($\frac{0}{0}$)؛ پس باید عبارت را ساده کنیم.

گام ۲: گویا کردن صورت. صورت و مخرج را در مزدوج صورت، یعنی $\sqrt{x} + 1$، ضرب می‌کنیم. طبق اتحاد مزدوج:

$$(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = x - 1$$

گام ۳: تجزیهٔ مخرج. $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. پس:

$$\frac{\sqrt{x} - 1}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)(\sqrt{x} + 1)}$$

گام ۴: ساده کردن و جای‌گذاری. در محاسبهٔ حد، $x \ne 1$ است؛ پس عامل $x - 1$ را از صورت و مخرج حذف می‌کنیم و بعد $x = 1$ را می‌گذاریم:

$$\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x + 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{(1 + 1)(1 + 1)} = \frac{1}{4}$$