سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

معادلهٔ گستردهٔ دایره به شکل کلی $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ است. با مقایسه:

$$a = 2 , \quad b = 2 , \quad c = -8$$

مرکز:

$$O\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right) = \left(-\frac{2}{2}, -\frac{2}{2}\right) = (-1, -1)$$

شعاع:

$$r = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c} = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 4 + 32} = \frac{1}{2}\sqrt{40} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{10} = \sqrt{10}$$

راه دیگر (مربع کامل):

$$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 8 + 1 + 1 \Rightarrow (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 10$$

که همان مرکز $(-1, -1)$ و شعاع $\sqrt{10}$ را می‌دهد.