سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

$$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2)$$ $$P(A) = \frac{5}{8} \times \frac{5}{11} + \frac{3}{8} \times \frac{4}{11} = \frac{37}{88}$$

پیشامدها را نام‌گذاری می‌کنیم:

• $B_1$: مهره‌ای که از ظرف اول به ظرف دوم می‌رود سبز باشد.
• $B_2$: این مهره آبی باشد.
• $A$: مهره‌ای که در پایان از ظرف دوم بیرون می‌آوریم سبز باشد.

گام ۱: احتمال هر حالتِ جابه‌جایی. ظرف اول ۸ مهره دارد:

$$P(B_1) = \frac{5}{8} , \quad P(B_2) = \frac{3}{8}$$

گام ۲: احتمال سبز بودن در هر حالت. بعد از جابه‌جایی، ظرف دوم ۱۱ مهره دارد:

• اگر مهرهٔ سبز آمده باشد: ۵ سبز و ۶ آبی، پس $P(A|B_1) = \frac{5}{11}$.
• اگر مهرهٔ آبی آمده باشد: ۴ سبز و ۷ آبی، پس $P(A|B_2) = \frac{4}{11}$.

گام ۳: قانون احتمال کل.

$$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) = \frac{5}{8} \times \frac{5}{11} + \frac{3}{8} \times \frac{4}{11} = \frac{25}{88} + \frac{12}{88} = \frac{37}{88}$$