دی ۱۴۰۱

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۷ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

۱.۲۵ بارم

جسمی را از سطح زمین به طور عمودی پرتاب می‌کنیم؛ جهت حرکت به طرف بالا را مثبت در نظر می‌گیریم. فرض کنیم ارتفاع این جسم از سطح زمین در هر لحظه از معادلهٔ h(t)=−4t2+40th(t) = -4t^2 + 40t به دست می‌آید.

الف) سرعت متوسط در بازهٔ [2,4][2, 4] را بیابید.

ب) در چه زمانی سرعت لحظه‌ای آن برابر ۱۶ متر بر ثانیه است؟

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف)

سرعت متوسط=h(4)−h(2)4−2=96−642=16\text{سرعت متوسط} = \frac{h(4) - h(2)}{4 - 2} = \frac{96 - 64}{2} = 16

ب)

h′(t)=−8t+40=16⇒t=3h'(t) = -8t + 40 = 16 \Rightarrow t = 3

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) سرعت متوسط در یک بازه، تغییر ارتفاع تقسیم بر مدت زمان است. اول ارتفاع را در دو لحظه حساب می‌کنیم:

h(4)=−4(16)+40(4)=−64+160=96h(4) = -4(16) + 40(4) = -64 + 160 = 96 h(2)=−4(4)+40(2)=−16+80=64h(2) = -4(4) + 40(2) = -16 + 80 = 64 سرعت متوسط=h(4)−h(2)4−2=96−642=16 m/s\text{سرعت متوسط} = \frac{h(4) - h(2)}{4 - 2} = \frac{96 - 64}{2} = 16 \ \mathrm{m/s}

ب) سرعت لحظه‌ای، مشتق تابع ارتفاع است:

h′(t)=−8t+40h'(t) = -8t + 40

آن را برابر ۱۶ قرار می‌دهیم:

−8t+40=16⇒8t=24⇒t=3 s-8t + 40 = 16 \Rightarrow 8t = 24 \Rightarrow t = 3 \ \mathrm{s}

پس در لحظهٔ t=3t = 3 ثانیه، سرعت لحظه‌ای جسم ۱۶ متر بر ثانیه است.

این پاسخ مفید بود؟