سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

الف) خیر.

ب) بله، در تمام نقاط بازهٔ $(-\infty, 2)$ مشتق‌پذیر است.

پ)

$$x \ge 2: \ f(x) = \sqrt{x - 1} + 2 \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} \Rightarrow f'_+(2) = \frac{1}{2}$$

الف) خیر. مقدار تابع در $x = 2$ از ضابطهٔ بالا به دست می‌آید:

$$f(2) = \sqrt{2 - 1} + 2 = 3$$

اما حد چپ تابع در ۲ از ضابطهٔ پایین است:

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = (2 - 1)^2 = 1$$

چون $1 \ne 3$، تابع در $x = 2$ پیوسته نیست (در شکل، نمودار در این نقطه پرش دارد: دایرهٔ توخالی در $(2, 1)$ و نقطهٔ توپر در $(2, 3)$). تابعی که در یک نقطه پیوسته نباشد، در آن نقطه مشتق‌پذیر هم نیست.

ب) بله. در بازهٔ $(-\infty, 2)$ تابع فقط ضابطهٔ $f(x) = (x - 1)^2$ را دارد که یک چندجمله‌ای است، و چندجمله‌ای‌ها در همهٔ نقاط مشتق‌پذیرند:

$$f'(x) = 2(x - 1) \qquad (x < 2)$$

نقطهٔ ۲ (جای پرش) در این بازهٔ باز نیست، و نمودار در این بازه یک سهمی هموار بدون شکستگی و گوشه است.

پ) برای مشتق راست در ۲، مقدارهای $x \ge 2$ را در نظر می‌گیریم که ضابطهٔ آن‌ها $\sqrt{x - 1} + 2$ است (و $f(2) = 3$ هم از همین ضابطه است):

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$$ $$f'_+(2) = \frac{1}{2\sqrt{2 - 1}} = \frac{1}{2}$$