سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۱

$$2T = \frac{7\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 4\pi \Rightarrow T = 2\pi \Rightarrow \frac{2\pi}{|b|} = 2\pi \Rightarrow b = \pm 1$$ $$c = \frac{4 + (-2)}{2} = 1$$ $$|a| = \frac{4 - (-2)}{2} = 3 \Rightarrow a = -3$$

از روی نمودار، بیشترین مقدار تابع $4$ و کمترین مقدار آن $-2$ است.

دورهٔ تناوب و $b$: دو نقطهٔ مشخص‌شده در $x = -\frac{\pi}{2}$ و $x = \frac{7\pi}{2}$ در یک وضعیت از موج هستند و میان آن‌ها نمودار دو دورهٔ کامل را طی می‌کند:

$$2T = \frac{7\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{8\pi}{2} = 4\pi \Rightarrow T = 2\pi$$

دورهٔ تناوب $y = a\cos bx + c$ برابر $\frac{2\pi}{|b|}$ است:

$$\frac{2\pi}{|b|} = 2\pi \Rightarrow |b| = 1 \Rightarrow b = \pm 1$$

(هر دو علامت درست است، چون $\cos(-x) = \cos x$.)

مقدار $c$ و $|a|$: بیشترین مقدار تابع $|a| + c$ و کمترین مقدار آن $-|a| + c$ است؛ پس $c$ وسط بیشینه و کمینه است و $|a|$ نصف فاصلهٔ آن‌ها:

$$c = \frac{\max + \min}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = 1$$ $$|a| = \frac{\max - \min}{2} = \frac{4 - (-2)}{2} = 3$$

علامت $a$: نمودار در $x = 0$ به کمینهٔ خود ($-2$) رسیده است. اما $\cos 0 = 1$، پس:

$$y(0) = a \cos 0 + c = a + 1 = -2 \Rightarrow a = -3$$

پس ضابطه $y = -3\cos x + 1$ است. بررسی: در $x = \pi$ داریم $y = -3(-1) + 1 = 4$ که همان بیشینهٔ نمودار است.