سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

الف) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$

ب) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

پ) $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x) = +\infty$

ت) $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$

حد را از روی نمودار می‌خوانیم: وقتی $x$ به عددی (یا به بی‌نهایت) نزدیک می‌شود، نگاه می‌کنیم عرض نقطه‌های نمودار به کجا نزدیک می‌شود.

الف) وقتی به سمت چپ نمودار می‌رویم ($x \to -\infty$)، شاخهٔ چپ هر چه جلوتر می‌رود به خط‌چین افقی $y = 2$ نزدیک‌تر می‌شود. پس حد برابر $2$ است (خط $y = 2$ مجانب افقی نمودار در سمت چپ است).

ب) وقتی به سمت راست نمودار می‌رویم ($x \to +\infty$)، شاخهٔ راست به محور $x$ها، یعنی خط $y = 0$، نزدیک می‌شود. پس حد برابر $0$ است.

پ) نزدیک $x = -1$ خط‌چین قائم مجانب قائم نمودار است. از هر دو طرف $x = -1$ نمودار به سمت بالا می‌رود (شاخهٔ چپ از چپ و شاخهٔ وسط از راست). چون حد چپ و حد راست هر دو $+\infty$ هستند:

ت) $x \to 1^-$ یعنی از سمت چپ به ۱ نزدیک می‌شویم؛ پس فقط شاخهٔ وسط را نگاه می‌کنیم. این شاخه با نزدیک شدن به $x = 1$ بی‌پایان پایین می‌رود؛ پس حد برابر $-\infty$ است. (از سمت راست ۱، شاخهٔ راست به $+\infty$ می‌رود، ولی اینجا فقط حد چپ خواسته شده است.)