سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

وقتی دایره بر یک خط مماس است، شعاع آن برابر فاصلهٔ مرکز دایره از آن خط است.

گام ۱: معادلهٔ خط را به شکل استاندارد بنویسیم.

$$3x - 4y = 3 \Rightarrow 3x - 4y - 3 = 0$$

گام ۲: فاصلهٔ مرکز $(0, 3)$ از خط. فاصلهٔ نقطهٔ $(x_0, y_0)$ از خط $ax + by + c = 0$ برابر است با:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ $$r = \frac{|3(0) - 4(3) - 3|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$

گام ۳: معادلهٔ دایره. دایره به مرکز $(h, k)$ و شعاع $r$ معادلهٔ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ دارد:

$$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 3^2 \Rightarrow x^2 + (y - 3)^2 = 9$$