سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

$$|b| = \frac{2\pi}{2} = \pi \Rightarrow b = \pm\pi$$ $$|a| = \frac{4 - (-4)}{2} = 4 \Rightarrow a = \pm 4$$ $$c = \frac{4 + (-4)}{2} = 0$$ $$y = \pm 4\sin(\pm\pi x)$$

هر یک از این ضابطه‌ها (مثلاً $y = 4\sin(\pi x)$) پاسخ درست است.

بیشترین مقدار $y = a\sin(bx) + c$ برابر $|a| + c$ و کمترین مقدار آن $-|a| + c$ است؛ پس $c$ وسطِ بیشینه و کمینه و $|a|$ نصف فاصلهٔ آن‌هاست. دورهٔ تناوب هم از $T = \frac{2\pi}{|b|}$ به دست می‌آید.

مقدار $c$: برد $[-4, 4]$ است، پس بیشینه ۴ و کمینه $-4$:

$$c = \frac{\max + \min}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = 0$$

مقدار $|a|$:

$$|a| = \frac{\max - \min}{2} = \frac{4 - (-4)}{2} = 4$$

مقدار $|b|$:

$$T = \frac{2\pi}{|b|} \Rightarrow 2 = \frac{2\pi}{|b|} \Rightarrow |b| = \pi$$

علامت $a$ و $b$ در این سؤال مشخص نشده است، پس هر ترکیبی از علامت‌ها درست است:

$$y = 4\sin(\pi x) \quad \text{یا} \quad y = -4\sin(\pi x) \quad \text{یا} \quad y = 4\sin(-\pi x) \quad \text{یا} \quad y = -4\sin(-\pi x)$$

بررسی: برای $y = 4\sin(\pi x)$، چون $-1 \le \sin(\pi x) \le 1$، مقدار $y$ بین $-4$ و $4$ است و دورهٔ تناوب $\frac{2\pi}{\pi} = 2$ است.